a) Skizze.
b) Es ist
-
![{\displaystyle {}f'(x)=-{\frac {1}{x{\left(\ln x\right)}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b681777879610e72c28abec78a634440e15529cb)
c) Es ist
-
![{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)={\frac {{\left(\ln x\right)}^{2}+x2{\left(\ln x\right)}{\frac {1}{x}}}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{4}}}={\frac {{\left(\ln x\right)}+2}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{3}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad259e323bfb86226a9dd2f45f7ce8ad051b07d)
d) Wegen
ist
und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von
ist stets negativ. Für den Zähler gilt
-
![{\displaystyle {}{\left(\ln x\right)}+2=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cb86a02c4f3eb360bf139ae22398811253370c)
genau dann, wenn
-
![{\displaystyle {}x=e^{-2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c907693f4d7d8ab11236256409494338b670880)
Für
ist die zweite Ableitung negativ und für
ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei
ein Wendepunkt vor.