a) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d\omega &=d{\left(xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\right)}\\&=dx\wedge dy\wedge dz-dy\wedge dx\wedge dz+dz\wedge dx\wedge dy\\&=dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz\\&=3dx\wedge dy\wedge dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61940df3556a022c509a0bed698f3cff9c9011a3)
wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.
b) Für einen Punkt
und zwei orthonormale,
(zusammen mit
)
die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren
und
ist nach
Fakt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\omega {|}_{S^{2}}(u,v)&=\omega (u,v)\\&=z\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}-y\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}+x\det {\begin{pmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&u_{1}&v_{1}\\y&u_{2}&v_{2}\\z&u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d59092b37690935f02bc469806bd494021fbf2)
Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber
. Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die
Standardvolumenform
charakterisiert.
c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich
-
![{\displaystyle {}\int _{S^{2}}\omega =\int _{B\left(0,1\right)}d\omega =\int _{B\left(0,1\right)}3dx\wedge dy\wedge dz=3\lambda ^{3}(B\left(0,1\right))=4\pi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154ac2d331471725d8a2bf592056f1e1ef836dee)