Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition

Algebraische Funktion

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} V = V(\mathfrak b) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} eine affin-algebraische Menge, und ${}P\in V$ ein Punkt. Es sei ${}U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit ${}P\in U$ und es sei ${}f:U\rightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt ${}f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es Polynome ${}G,H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gibt mit ${}P\in D(H)\subseteq U$ und mit

$f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}\,\,{\text{ für alle }}Q\in D(H).$

Die Funktion ${}f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf ${}U$), wenn ${}f$ in jedem Punkt von ${}U$ algebraisch ist.