Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung

Zielsetzung

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Zielsetzung einer Algebraerweiterung   zu einer gegebenen topologischen Algebra   mit   ist es, die topologisch Algebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element   enthält. Das folgenden Diagramm veranschaulicht den Sachverhalt:

Veranschaulichung

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Algebraerweiterung   von  , die ein inverses Element   zu einem gegebenen   enthält.

 

Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung

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Untersuchen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede bzgl. Algebraerweiterungen in der Funktionalanalysis und den Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule.

Unlösbare Aufgaben in der Primarstufe

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In der Primarstufe können in dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen   Aufgaben formuliert werden, die aber in   nicht lösbar sind. Daraus ergibt sich eine Zahlbereichserweiterung wie folgt:

  • ( ) Aufgabe   (bzw.  ) in   formuliert aber in   nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf  .
  • ( ) Aufgabe   (bzw.  ) in   formuliert aber in   nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf  .
  • ( ) Zu diesem unlösbaren Aufgabentyp gehören auch die multiplikativen Inversen, z.B.  .

Unlösbare Aufgaben in der Sekundarstufe

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Die unlösbaren Aufgaben ergeben sich aus quadratischen Gleichungen

  • ( ) Aufgabe   in   formuliert aber in   nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf  .
  • ( ) Aufgabe   in   formuliert aber in   nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf   (siehe auch komplexe Zahlen).

Analogien und Unterschiede

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Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen den Zahlbereichserweiterungen in der Schule und den Algebraerweiterungen und der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien?

Definition: Algebrahomomorphismus

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Seien   und   zwei Algebren über dem Körper   und   eine Abbildung von   nach  .   heißt Algebrahomomorphismus die   verträglich mit den Verknüpfungen auf der Algebra ist, d.h.:

  • (AH1) Für alle  ,   gilt:  
  • (AH2) Für alle   gilt:  
  • (AH3) Für alle Für alle   gilt:  

Wenn der Algebrahomomorphismus zusätzlich bijektiv ist, nennt man   Algebraisomorphismus.

Bemerkung: Notation für die inneren Verknüpfungen in den Algebren

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Der Index bei den inneren Verknüpfungen bezeichnet die Algebren, auf denen die inneren Verknüpfungen definiert sind. In der Regel werden die Bezeichnungen bei Algebraerweiterung durch Notation nicht unterschieden.

Definition: Algebraerweiterung

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Sei   eine Klasse von unitalen Algebren und  , dann heißt   Algebraerweiterung, Oberalgebra oder  -Erweiterung von  , falls es einen Algebraisomorphismus   gibt mit:

  •  , wobei   ist das Einselement von   und   das Einselement von   ist.
  •   ist homöomorph zu  ; d.h.   und   sind stetig.

Bemerkung - unitale Algebren

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Eine topologische Algebra   der Klasse   heißt unital, wenn   ein Einselement der Multiplikation besitzt. Der Begriff kommt von "unit" als "Einheit" bzw. "Einselement".

Bemerkung

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  • Im allgemeinen identifiziert man   mit   und schreibt  .
  • Sei   eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von   auf   und   eine Nullumgebungsbasis von  , dann kann man die Homöomorphie zwischen   und   wie folgt beschreiben:
 

Stetigkeit und Minkowskifunktionale

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Betrachtet man die Minkowskifunktionale   und   für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

 

Bemerkung Topologieerzeugung

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Falls in einem topologieerzeugenden System von Minkowskifunktionalen   nicht mit jedem   auch   in dem System   liegt, treten in der Ungleichung jeweils von   bzw.   abhängige Konstanten auf.

Definition: Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen

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Sei   eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen   bzw.   definiert sind. Die beiden Gaugefunktionalsystem heißen äquivalent, wenn für diese gilt:

 

und umgekehrt

 

Bemerkung: Implikation der Konvergenz

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  • Die erste Bedingung in der obigen Definition liefert, dass ein Netz  , das bzgl.   konvergiert auch in der von   erzeugten Topologie konvergiert.
  • Die zweite Bedingung liefert umgekehrt, dass   bzgl.   konvergiert, wenn das Netz auch bzgl.   konvergiert.

Definition: isometrische Erweiterung von Gaugefunktionalsystemen

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Sei   eine  -Algebraerweiterung von   mit den topologieerzeugenden Systemen von Gaugefunktionalen   auf   bzw.   auf  . Die Algebraerweiterung nennt isometrisch, falls gilt:

 

und umgekehrt

 

Definition: K-regulär - K-singulär

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Sei   eine Klasse topologischer Algebren mit Einselement und   eine Algebra. Ein Element   der Algebra   heißt  -regulär (Bezeichnung:  ), falls es eine  -Erweiterung   von   gibt, in der   invertierbar ist. Falls dies nicht möglich ist, heißt    -singulär oder permanent singulär in jeder  -Erweiterung von  .

Bemerkung: Polynomalgebra

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Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung ist es für einige Algebrenklassen notwendig, die Erweiterung auf die Algebra der Polynome   zu betrachten. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung   konstruiert wird.

 

Bemerkung: regulär - K-regulär

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Jedes reguläre Element   ist zugleich auch  -regulär, da reguläre Elemente bereits in der Algebra   selbst invertierbar sind,   in natürlicher Weise eine Algebraerweiterung von sich darstellt, in der das inverse Element   existiert. Daher gilt  .

Definition: Absolutcharakter

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Die  -Singularität besitzt Absolutcharakter, falls aus  -Singularität  -Singularität folgt.

Augaben für Lernende

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Die Aufgaben beziehen sich auf die topologieerzeugenden Gaugefunktionalsysteme und die Äquivalenz dieser Systeme. Diese Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme wird für die Einbettung der Algebraerweiterung von   in   benötigt, damit man die Stetigkeit der Einbettung   und der Umkehrabbildung   nachweisen kann.


Aufgabe 1: Bezug unter Unterschiede zum Satz von Hahn-Banach

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Betrachten Sie den Satz von Hahn-Banach und die Erweiterung von linearen Funktionalen   von einem Unterrraum   auf den gesamten Vektorraum  .

  • Welche topologischen Gemeinsamkeiten und Unterschiede sehen Sie bei der Erweitung von linearen Funktionalen (Hahn-Banach) und der Algebraerweiterung?
  • Wie kann man aus einem linearen Funktional   ein Halbnorm   auf   erzeugen und mit der Erweiterung von   auf   eine Halbnorm auf  ?

Aufgabe 2: Konvergenz in äquivalenten Gaugefunktionalsystemen

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Sei   eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen   bzw.   definiert sind. Ferner sei ein Netz in gegeben.

  • Notieren Sie dazu zunächst die Konvergenz bzgl. der topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen   und   formal.
  • Zeigen Sie, dass in einer Algebra   ein Netz genau der dann in   konvergiert, wenn es auch bzgl.   konvergiert.

Aufgabe 3: Algebraerweiterungen von Matrixalgebren

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Sei   die nicht-kommunitive Algebra der 2x2-Matrizen über   mit der euklidischen Norm:

 

Aufgabe 3a: Polynomalgebraerweiterungen von Matrixalgebren

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Erzeugen Sie eine Polynomalgebra mit Koeffizienten in   und topologisieren Sie den Raum   ebenfalls mit einer Norm.


Definition 3b: Matrxixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren

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Betten Sie   in den Raum   der 3x3-Matrizen über   ein.

 

Aufgabe 3c: Matrixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren

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Ist über die mit   definierte Abbildung eine Algebraerweiterung definiert worden? Überprüfen Sie die Eigenschaften!

  • Zeigen Sie, dass   bijektiv   nach   ist.
  • Verwenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, um die Stetigkeit von   und   nachzuweisen.
  • Können Sie ein Element in der ursprünglichen Algebra   der  -Matrizen angeben, das in   nicht invertierbar ist, aber bei dem Sie in ein inverses Element aus   nach der Einbettung angeben können? (Hinweis: Sind nicht-invertierbare Matrizen Nullteiler in  ?)

Siehe auch

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