Wir betrachten den
kommutativen Ring
über einem
Körper
mit dem maximalen Ideal
und die
offene Menge
-
![{\displaystyle {}U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759241baf41c86b0991f7a3cd4520a1e10f07a81)
Es ist
-
![{\displaystyle {}R_{X}\cong K[X,X^{-1},Z]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43db001c64826c01c7213ab8a0e3a7b9ebb7fde8)
(vermöge
)
ein
faktorieller Integritätsbereich
und somit sind sämtliche
invertierbaren Garben
auf
(und entsprechend auf
)
nach Fakt
trivial. Ferner ist
-
![{\displaystyle {}R_{XY}=R_{Z}\cong K[X,X^{-1},Z,Z^{-1}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964565372fcce145a0834a6fff1e5aabfb8dd25a)
Eine invertierbare Garbe auf
ist somit durch einen Isomorphismus
-
gegeben, der wiederum einer Einheit aus
entspricht. Es sei
eine solche Einheit. Die Einheiten, die von
oder
herrühren und multiplikative Kombinationen daraus führen
gemäß Bemerkung
zu einer trivialen invertierbaren Garbe. Die Restklassengruppe besteht aus
mit
und daher ist die
Picardgruppe
von
gleich
.