Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e47fa2ed20b4fa5ceb3adcbd4440ab91f3dd966)
für alle
gilt. Für
gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert &=\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert +\vert {x_{n+2}-x_{n+1}}\vert +\cdots +\vert {x_{m-1}-x_{m-2}}\vert +\vert {x_{m}-x_{m-1}}\vert \\&\leq a^{n}+a^{n+1}+\cdots +a^{m-2}+a^{m-1}\\&=a^{n}{\left(1+a+\cdots +a^{m-n-2}+a^{m-n-1}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdc2d5038a05ef52d56cbb8c3cb46de1c6ec5bd)
Der rechte Faktor ist dabei
(endliche geometrische Reihe)
gleich
. Wegen
ist der Nenner wohldefiniert und
ist
, also kann man diesen Faktor nach oben durch
abschätzen. Insgesamt haben wir also
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7dd774b70929170f1530615c91d2692bc27301)
Nach
Aufgabe
ist
eine Nullfolge und dies gilt auch für
, da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein
gegeben. Dann gibt es ein
mit
für
und somit gilt für alle
die Abschätzung
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![{\displaystyle {}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66d403aaf1da5b12080899a5bd3b00a2cbb605a)