Es sei
,
und
. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}\Gamma =\{\alpha \leftrightarrow \beta ,\alpha {\frac {0}{x}},\alpha {\frac {1}{x}},\alpha {\frac {1+1}{x}},\alpha {\frac {1+1+1}{x}},{\rm {{etc}\}\,.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8891242941838d9cec2eb565863f585521ca6978)
Der Ausdruck
repräsentiert in
die volle Relation
, da ja für jedes
gilt
, aber auch
. Ferner gilt
. Wir behaupten, dass
nicht die Relation in
repräsentiert, wobei wir
nachweisen wollen. Um diese Nichtableitbarkeit zu zeigen, müssen wir aufgrund des Korrektheitssatzes eine Interpretation angeben, für die
gilt, aber
nicht gilt. Dazu wählen wir als Grundmenge
, wobei wir die
und die Multiplikation
(die keine Rolle spielt)
natürlich interpretieren, und wo wir die Addition auf
natürlich interpretieren und
setzen, sobald ein Summand negativ ist. Die Variable
wird als
interpretiert. Bei dieser Interpretation gilt dann weder
noch
,
da
![{\displaystyle {}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3bd3f6d606799ccf005da7938068776c661eab)
überhaupt nicht als Wert der gewählten Addition auftaucht. Daher gilt wiederum die Äquivalenz
![{\displaystyle {}\alpha \leftrightarrow \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55395d532c6308a9ae22e572196ed51425138df5)
bei dieser Interpretation. Die Ausdrücke
![{\displaystyle {}\alpha {\frac {n}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a627cb053aebe53f53109a35f0d699ef79fa7a)
für
![{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24d1aed8fb8b6c63d76258c4bf62224094ceec4)
gelten bei der Interpretation, der Ausdruck
![{\displaystyle {}\beta {\frac {0}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36441fedf4a5a8c396bfb97a274e0ce16603c283)
bedeutet
![{\displaystyle {}\exists y{\left(0=y+1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0c56cc227eb2ff04c21af787e40d504f9e00c6)
und gilt hingegen nicht, da bei
![{\displaystyle {}y\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5705535b030da27ed216b078f1c5d4d5880615)
der Wert von
![{\displaystyle {}y+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82bb57c4ed4beaf162f507caf3e1261c9ea03b2)
größer als
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
ist und bei
![{\displaystyle {}y<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504c30dbf3d7a95d976ae78f839fa9041a080e39)
der Wert nach Definition gleich
![{\displaystyle {}-2\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9213f152f1fa5db91397ff6d4d9acb6d3bd97335)
ist.