In den folgenden Aufgaben geht es darum, die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den \stichwort {Peano-Axiomen} {} abzuleiten. Dies ist im Allgemeinen mühsam und sollte nur exemplarisch durchgeführt werden, um sich ein Bild von einem formalen Aufbau der Zahlen machen zu können.

Wir erinnern an die Peano-Axiome:


Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \in }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {die \stichwort {Null} {}} {} {} und einer \zusatzklammer {Nachfolger} {} {-}Abbildung \maabbeledisp {'} { N} {N } {n} {n' } {,} heißt \definitionswort {natürliche Zahlen}{} \zusatzklammer {oder \stichwort {Dedekind-Peano-Modell} {} für die natürlichen Zahlen} {} {,} wenn die folgenden
\definitionswortenp{Dedekind-Peano-Axiome}{} erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Das Element $0$ ist kein Nachfolger \zusatzklammer {die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung} {} {.} }{Jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist Nachfolger höchstens eines Elementes \zusatzklammer {d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv} {} {.} }{Für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt: Wenn die beiden Eigenschaften \auflistungzwei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{mit jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n' }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} } gelten, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, das zwei Mengen $\N_1$ und $\N_2$, die beide die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung
\mathl{\N_1 \rightarrow \N_2}{} an, die $0_1$ in $0_2$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige ausgehend von den \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{}{,} dass jedes Element
\mathl{n \in {\mathbb N}}{,} $n \neq 0$, einen Vorgänger besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathbb N}$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Addition auf ${\mathbb N}$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\N$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Multiplikation auf $\N$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:= 0'$ als neutrales Element besitzt.

Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 3 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{}{} ab.

}
{} {}