Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes ${}X$ ergibt sich aus Fakt. Zu einer offenen Menge ${}W\subseteq X$ liegt eine Überdeckung

${}W=\bigcup _{i\in I}W\cap V_{i}\,$

vor und wir setzen

${}{\begin{aligned}\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{X})&:={\left\{(s_{i},i\in I)\mid s_{i}\in \Gamma (\psi _{i}^{-1}(W\cap V_{i}),{\mathcal {O}}_{U_{i}}),\,\varphi _{ji}{\left(s_{i}{|}_{\psi _{i}^{-1}(W)\cap U_{ij}}\right)}=s_{j}{|}_{\psi _{j}^{-1}(W)\cap U_{ji}}\right\}}\\\,\end{aligned}}$

Dies ist eine Garbe auf ${}X$ von kommutativen Ringen, die auf den ${}V_{i}$ über die ${}\psi _{i}$ mit den vorgegebenen Garben auf ${}U_{i}$ übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage