Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus
Fakt
mit offenen Quaderüberpflasterungen.
Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass
endlich ist.
Wir betrachten die Durchschnitte
-
![{\displaystyle {}T_{r}=T\cap B\left(0,r\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874683748307cd5a8e2507b5a93810a99ca509f7)
Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach
Fakt (5)
gegen das von
. Wir können also
durch
ersetzen
(beispielsweise mit einer Maßabweichung von
)
und dann annehmen, dass
ist. Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}T'=U{\left(0,r\right)}\setminus T\subseteq U{\left(0,r\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127893a15356b06ecf8feb09b5aea7afb8cc6b8b)
Nach Teil (2) können wir das Volumen von
beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in
liegen, sagen wir
-
![{\displaystyle {}T'\subseteq U'\subseteq U{\left(0,r\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacc59b77507a3f5a461b93e6c77852d8251d509)
mit
-
![{\displaystyle {}\lambda ^{n}(U')-\lambda ^{n}(T')\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d0517321cb434f78de2686eb5860ae7bdc5115)
Dann ist
-
![{\displaystyle {}A'=B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U'\right)}\subseteq B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus T'\right)}=T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab6799bed35fc79b961c545638e4e91770dcd22)
eine abgeschlossene Teilmenge von
und die Volumenabweichung ist wie zuvor.