Es sei
eine Einbettung in eine
injektive Garbe
und
-
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz
(siehe
Fakt (3))
und wegen
Fakt
ist
-
![{\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd121138b9caf726b79e06a99bcf83f2826946e5)
Wir definieren zuerst einen Homomorphismus
-
Ein Schnitt
legt Restriktionen
fest. Da
auf den
keine Kohomologie besitzt, gibt es
-
![{\displaystyle {}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2d3ba1b8dde944ef6e2c10048588d940bb8add)
die auf die
abbilden. Die Elemente
(zu
)
-
![{\displaystyle {}r_{ij}:=s_{i}-s_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f175292d58e87298ef1a318756985192a9fcebc)
werden auf
in
abgebildet, daher ist
-
![{\displaystyle {}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad774bf65560224bb3b56c12b8b2ddeed69cc6c0)
Für Indizes
ist
-
![{\displaystyle {}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}-(s_{i}-s_{k})+s_{j}-s_{k}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a5d2e09619769d3126386261cb216d78b1c50a)
deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie
ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in
. Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten
und ein Gruppenhomomorphismus, siehe
Aufgabe.
Es sei nun
das Bild eines globalen Elementes
.
Dann kann man die
als
ansetzen und daher sind die zu
konstruierten
alle gleich
. Ein solches Element
wird also unter der angegebenen Abbildung auf
abgebildet. Dies ergibt nach
Fakt
eine Faktorisierung
-
Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von
gegeben, der durch
-
![{\displaystyle {}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14607581a886cef62688d88d9791ba02ca7f91f5)
mit
repräsentiert sei. Wir fassen die
in
auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren
-
![{\displaystyle {}s_{i}:=r_{i1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de21872ff611088464c2f5f24a03f2f739965a6)
(mit
)
und fassen diese als Elemente in
auf. Diese Schnitte erfüllen
.
Diese Elemente
definieren Elemente
-
![{\displaystyle {}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3fefea88d585d5a8c0a1b9463cf17c7a06772c)
Da ihre Differenzen von
herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element
-
![{\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab774a201c2d7b28d78accf1045f6f628864ed84)
Dies definiert über den
verbindenden Homomorphismus
die Kohomologieklasse
-
![{\displaystyle {}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e18c1e19591c90aeed6804dfc8bb3a7002a8f33)
Wenn der Čech-Kozykel
durch andere Elemente
repräsentiert werden, so sind die Elemente
,
,
wegen
-
![{\displaystyle {}(s_{i}-s_{i}')-(s_{j}-s_{j}')=s_{i}-s_{j}-(s_{i}'-s_{j}')=r_{ij}-r_{ij}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e519dd526757c3d287f7302e1034a556d29c09)
verträglich und definieren ein globales Element in
. Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in
auf
. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung
-
vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente
mit
-
![{\displaystyle {}r_{i}-r_{j}=r_{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051875ab16f1b44e1e15639d7597dd8278a117f2)
Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in
auf und die
können direkt die Rolle der
von oben übernehmen. Dann sind die
alle gleich
und damit ist das Bild in
ebenfalls gleich
. Somit hat man eine Abbildung
-
Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.