Wenn
-
eine
Lösung
der
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
![{\displaystyle {}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c7b4a5fa591f29b4a3d082b92df33c977d1b91)
ist, so sind alle Funktionen
für
differenzierbar,
und es gilt
für
nach Definition und schließlich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f2b3369e611f5571637ec44c85591a3a337026)
Wenn umgekehrt
-
eine
Lösung
des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
-
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten
Gleichungen, dass
-mal
differenzierbar
ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
-
![{\displaystyle {}y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf36e776ac7702efa5e00ef8e33e97fd1fd174f)