Wir betrachten den
lokalen Ring
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![{\displaystyle {}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XY,XZ)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1430411253cbd2ff243ed94e2b01bfbf90a001)
der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die
Potenzen
des
maximalen Ideals
gilt
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}=(X^{n})+(Y,Z)^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4eda014da639e84fae4bd3f53b2982dd873766b)
da ja sämtliche Monome, in denen neben
noch eine weitere Variable vorkommt, gleich
sind. Somit gilt für die Restklassenräume
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}=K\langle X^{n},Y^{n},Y^{n-1}Z,\ldots ,Z^{n}\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf80c86024acabf524b19ab832ff175e6817f6cd)
und dessen
-Dimension
ist
. Somit ist die
Hilbert-Samuel-Funktion
des Ringes gleich
und die
Hilbert-Samuel-Multiplizität
des Ringes ist
. Der Ring ist aber nicht
regulär.