Wir zeigen, dass der Kern der natürlichen Abbildung
-
endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung , die nach
Fakt
endlich ist und es sei die Galoisgruppe von über . Es sei
,
repräsentiert durch
.
Nach Voraussetzung ist in das Doppelte eines Punktes
.
Wir wählen zu jedem einen solchen Punkt und definieren damit die Abbildung
-
wobei wir die zu gehörigen Automorphismen auf der Kurve betrachten, siehe
Aufgabe.
Wir behaupten, dass die Zuordnung
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injektiv ist. Es seien also
,
repräsentiert von
und mit Halbierungspunkten
.
Die Gleichheit
bedeutet
-
für alle
.
Dies bedeutet nach
Aufgabe
-
für alle
.
D.h., dass invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß
Aufgabe
zu gehört. Also ist
-
und somit ist
in . Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen
und
ist auch endlich.