Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass der Kern der natürlichen Abbildung

endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung , die nach Fakt endlich ist und es sei die Galoisgruppe von über . Es sei , repräsentiert durch . Nach Voraussetzung ist in das Doppelte eines Punktes . Wir wählen zu jedem einen solchen Punkt und definieren damit die Abbildung

wobei wir die zu gehörigen Automorphismen auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung

injektiv ist. Es seien also , repräsentiert von und mit Halbierungspunkten . Die Gleichheit bedeutet

für alle . Dies bedeutet nach Aufgabe

für alle . D.h., dass invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu gehört. Also ist

und somit ist in . Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen und ist auch endlich.