In Charakteristik
lässt sich eine elliptische Kurve durch eine Weierstraßgleichung der Form
-
![{\displaystyle {}y^{2}=x^{3}+ax+b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf956d82a5c24e68f95f4409151775aa9c04fd2)
in inhomogener bzw.
-
![{\displaystyle {}y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd64c74a2e1487f47b5bcfb6cb99a01c43867b7)
in homogener Form beschreiben. Dabei ist
-
![{\displaystyle {}-4a^{3}-27b^{2}\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d05fdf1c670ba20e01e40365d99c2ccb93efb05)
die Bedingung für die Glattheit. Bei
sind
Parameter und
sind stets Parameter im Kegel,
dagegen nicht. Das Bündel
besitzt durch
einen nichttrivalen Schnitt, der allerdings eine Nullstelle im Punkt
hat.
Wir ersetzen
durch
, wir arbeiten also mit der neuen Variablen
, die anderen Variablen bleiben gleich. Dann erhält man die neue Kurvengleichung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zy^{2}&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-z(w+cz)^{2}\\&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zw^{2}-2cwz^{2}-c^{2}z^{3}\\&=x^{3}-zw^{2}+z^{2}{\left({\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253100821c5660a4b699266df07522768c7429de)
Wir wählen
. Dann ist jedenfalls das Tupel
nullstellenfrei und wir haben einen nullstellenfreien Schnitt von
, d.h. dies ist eine Realisierung von
als Syzygienbündel. Dabei sind
Parameter und bei
-
![{\displaystyle {}b-c^{2}\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68e47def395b8b6fa43aa7c62ad255984be361e)
auch
Parameter. Letzteres kann man unter der Charakteristikbedingung stets erreichen.