(1). Es ist klar, dass das
neutrale Element
zu gehört. Es seien . Dann ist
-
also . Bei ist
,
was man direkt zu
auflösen kann, was wiederum bedeutet.
(2). Wir betrachten die
Abbildung
-
Da genau aus allen zu
konjugierten Elementen
besteht, ist diese Abbildung
surjektiv.
Unter dieser Abbildung ist das
Urbild
von . Es gilt
genau dann, wenn
ist, also genau dann, wenn ist. Das bedeutet, dass die
Fasern
der Abbildung gerade die
Linksnebenklassen
zur Untergruppe sind. Daher ist gleich dem
Index
von in .
(3) folgt aus (2) und
Fakt.