Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu gehört. Es seien . Dann ist

also . Bei ist , was man direkt zu auflösen kann, was wiederum bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

Da genau aus allen zu konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist das Urbild von . Es gilt genau dann, wenn ist, also genau dann, wenn ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe sind. Daher ist gleich dem Index von in .
(3) folgt aus (2) und Fakt.