Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt mit Beweisklappe

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, sei ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$. Es sei

${}M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,.$

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}K$.

Beweis

Zunächst gilt für jedes Element ${}x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K$, dass

${}x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,$

ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also ${}0,1,-1\in M$. Es ist ${}z^{q}=F^{e}(z)$ und der Frobeniushomomorphismus

$F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},$

ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für ${}x,y\in M$ einerseits

${}(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,$

und andererseits

${}(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.$

Ferner gilt für ${}x\in M$, ${}x\neq 0$, die Gleichheit

${}{\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,$

so dass auch das Inverse zu ${}M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.

$\Box$