Wegen
ist klar, dass
-
ist, sodass also wirklich Intervalle vorliegen.
Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst .
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung
gilt
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Dies schreiben wir als
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Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
(es sei
.)
die Abschätzung
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Für die oberen Intervallgrenzen ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung
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Daraus folgt
-
Durch beidseitige Multiplikation mit ergibt sich
-
Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind
-
und konvergieren somit gegen .
Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.