Wir betrachten zur Exponentialreihe
die Teilpolynome
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![{\displaystyle {}P_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eda47176d068c91cce9f7932e439a2456554056)
Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit
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und der Betrag davon soll für jedes
maximal gleich
sein. Wegen
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![{\displaystyle {}\vert {\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\vert {\frac {x^{n}}{n!}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13473e554cefc69629cd1cb6756ea6c5c60295fa)
müssen wir
so wählen, dass
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![{\displaystyle {}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\leq 0,001={\frac {1}{1000}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a608ea9065fa7dee86e6e5cf697be8fc73f93cda)
ist. Wir betrachten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{(k+1+j)!}}5^{j}\right)}\\&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {5^{j}}{(k+2)(k+3)\cdots (k+1+j)}}\right)}\\&\leq {\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {5}{k+2}}\right)}^{j}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6181adc10ebf165114bbf106d87d778e733eb0e1)
Bei
liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei
ist deren Wert maximal gleich
. Bei
(bzw.
)
können wir grob abschätzen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}&={\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}\cdots {\frac {5}{5}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdots {\frac {5}{1}}\\&\leq {\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-8}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-13}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4a730a77b322a4518d9b5cb326b41c5fc61117)
Wegen
![{\displaystyle {}2^{10}\geq 1000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e284c512afb492a41c9079bbdf8213e21ce3262)
ist dies bei
![{\displaystyle {}k\geq 24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed48624c0f84f3dff17fe9d18377ad4c6c994e79)
kleiner als
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1000}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b696d1b1ef47e592aaebd3fcb4ee67e6ff81a823)
. Daher ist
![{\displaystyle {}P_{24}=\sum _{n=0}^{24}{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9251e4e04848d2ab5b2cf2457e7a14c194b6ef62)
ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.