Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers
ist isomorph zu
. Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen
und
in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach
Fakt
eine Untergruppe der Form
enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also
als graduierende Gruppe, und dann wäre
-
![{\displaystyle {}K\cong \mathbb {Q} [U]/{\left(U^{4}-c\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9edc1b36b87211d3ba6158c970b35100c5ba0c)
mit einem
. Der erzeugende Automorphismus
schickt
auf ein
, das ebenfalls
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![{\displaystyle {}{\left(\varphi (U)\right)}^{4}=c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029fdd46c259608f3d73effb0347a84a565c76c6)
erfüllt. Somit ist
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![{\displaystyle {}{\left({\frac {U}{\varphi (U)}}\right)}^{4}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe8dcfa6430c2ab5ab2156c7e6ebeb4993317cd)
Dabei ist
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![{\displaystyle {}{\frac {U}{\varphi (U)}}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e07da8ab749134fec982658faef6b72b200a6ae)
ausgeschlossen, da andernfalls
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![{\displaystyle {}\varphi (U)=-U\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78754aa27c89536a2d2cd8d2ce73cdd24f3eee62)
wäre und der Homomorphismus die Ordnung
hätte. Also ist
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![{\displaystyle {}{\frac {U}{\varphi (U)}}=\pm {\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeae62b57e6d1807b40ce566a3500bf31c88b71)
Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.