(1) Mittels
partieller Integration
ergibt sich
(für reelle Zahlen
bei fixiertem
)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f7b086c290cd1168a153e5a1a8de63fe4501a6)
Für
geht
und für
geht
(da
positiv ist).
Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man
.
(2). Es ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(0)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dc94441fc2c60b70881e1ee9e1ad91488c516e)
(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0937bc4ba6362e5b0a62f5259b986578373e8625)
Dies ergibt sich mit der Substitution
und dem sogenannten
Fehlerintegral.