- Wir betrachten den
-Algebrahomomorphismus
-
Dieser ist offenbar surjektiv und sendet
auf
,
daher wird das Ideal
auf
abgeildet und es wird ein Automorphismus
-
induziert.
- Der Körper
gehört zum Fixkörper. Als
-Vektorraum hat
die Struktur
-
![{\displaystyle {}L={\mathbb {C} }(X,Y)\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d93ec1714cd7dacfc7fbbfb3986985afb0bf2a)
Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist
der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.
- Wir betrachten die Darstellung als direkte Summe aus Teil (2). Daraus ist unmittelbar die graduierende Struktur mit der graduierenden Gruppe
ablesbar. Wegen
-
![{\displaystyle {}Z^{3}=X^{3}+Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee57b8648e6c96878d67e96dffad66c95a7cab1f)
ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.
- Durch
und
wird zunächst ein
-Automorphismus
-
und damit auch auf dem Quotientenkörper
-
festgelegt. Durch
wird sodann ein
-Algebramorphismus
-
festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus
-
führt. Die dritte Iteration davon ist durch
,
,
, bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung
.
- Wir behaupten, dass der Fixkörper der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern
und
ist. Diese beiden Elemente werden offenbar auf sich selbst abgebildet. Bezeichnen wir diesen Körper mit
-
![{\displaystyle {}M={\mathbb {C} }{\left({\frac {X}{Y}},{\frac {Z^{2}}{Y}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9639c4be008cc04a0fdf15be418701ec3e34f56)
Zunächst gehört
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90544d457b035d35494a0c772646803ce90a6442)
zu
. Ferner gehört auch
-
![{\displaystyle {}{\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a0b4cd588bf7260d7922a4f1317fa7bffe21c2)
dazu. Damit gehört auch
-
![{\displaystyle {}YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2aa3664bbc0346e178d59048fda11942216600)
dazu. Also gehört auch
-
![{\displaystyle {}Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38534b8b1ed86c75891f92898a392554542cee46)
und damit auch
und
dazu. Damit ist
-
![{\displaystyle {}M\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f39992ee13367c96ba27eec5a8d46ab7d8ee53)
endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger
und
algebraisch unabhängig und
ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass
über
von
erzeugt wird. Zu
-
gehört aber direkt auch
und
und wegen
gehört auch
dazu. Also ist
-
![{\displaystyle {}M[X]=L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d81cabb8f60eddfecd737b2996ba4493a396b7)
und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist
der Fixkörper.