Fermatsche Primzahlen/n-Eck/Konstruierbarkeit/Textabschnitt


Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermatschen Primzahlen

überhaupt weitere Fermatschen Primzahlen gibt.



Bei einer Fermatschen Primzahl hat der Exponent die Form mit einem .

Wir schreiben mit ungerade. Damit ist

Für ungerades gilt generell die polynomiale Identität (da eine Nullstelle ist)

Also ist ein Teiler von . Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet .


Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.


Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.



Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt.



Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt

hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Es sei die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung

(bei ist der Ausdruck zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten (oder ) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl das regelmäßige -Eck konstruierbar ist. Der -te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad , und dieser ist der Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms und wird von der -ten primitiven Einheitswurzel erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit konstruierbar.