Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis
Beweis
(1) ergibt sich aus
dem Kriterium von Eisenstein.
(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von . Es ist
und schließlich
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von ist
und besitzt die beiden reellen Nullstellen und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen
(wegen der Irreduzibilität von über )
keine Nullstelle von , sodass keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.
(3) und (4) folgen aus (1), (2) und
Fakt.