Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Anzahl/Textabschnitt

Unter der Gesamtvielfachheit (der Nullstelle, oder Gesamtnullstellenordnung) einer (von verschiedenen) holomorphen Funktion versteht man die Summe der Ordnungen . Wenn alle Nullstellen von innerhalb einer kompakten Teilmenge von liegen, so ist diese Summe endlich. Die Gesamtvielfachheit eines beliebigen Wertes unter ist die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von . Wir besprechen hier einige Gesetzmäßigkeiten über die Gesamtvielfachheit, die wir für den Beweis des riemannschen Abbildungssatzes benötigen. Die folgende Aussage ist ein Spezialfall des Satzes von Rouché.


Es sei ein Gebiet und seien , , zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in . Es seien holomorphe Funktionen auf , die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung erfüllen.

Dann stimmen die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von und von auf der Vereinigung der Kreisscheiben überein.

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe konzentrieren, es sei die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder noch Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von in gleich , wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem -fachen der Windungszahl von um den Nullpunkt. Die Wege und sind zueinander homotop in , nämlich über die Homotopie

wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in abspielt. Nach Fakt  (1) stimmen die Windungszahlen von und von überein.



Es sei ein Gebiet und sei

eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Es sei und für jedes sei die Gesamtvielfachheit der -Stellen höchstens .

Dann ist konstant gleich , oder die Gesamtvielfachheit von unter ist ebenfalls höchstens .

Ohne Einschränkung sei und sei die Grenzfunktion nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von unter sei aber zumindest . Es seien die Nullstellen von , die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei derart, dass es in außer keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in enthalten sind. Es sei das (positive) Minimum von auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von gegen auf dieser Vereinigung ist für hinreichend groß

Wir können dann auf

Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von ebenfalls ist im Widerspruch zur Voraussetzung.



Es sei ein Gebiet und sei

eine Folge von injektiven holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert.

Dann ist konstant oder injektiv.

Nach Fakt folgt aus injektiv, dass die Ableitung keine Nullstelle besitzt. Daher wird jeder Wert höchstens mit der Gesamtvielfachheit angenommen. Daher ist dies der Spezialfall von Fakt für .