Die auf das Teilchen wirkende tangentiale Kraft ist gleich
-
Die durch die Kraft bewirkte Bewegung
(eines Teilchens)
auf dem Graphen setzen wir als
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![{\displaystyle {}h(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\f(x(t))\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90855e6d4d6bf036a0593cdb5f597ee1b6a55b86)
an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. Wir müssen die zum Graphen tangentiale Kraft, die die tangentiale Beschleunigung bewirkt, mit der tangentialen Beschleunigung der gesuchten Bewegungskurve
gleichsetzen. Es ist
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![{\displaystyle {}h'(t)={\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854c3724a9167d9922ae173c7e29f5d1fa323279)
und
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![{\displaystyle {}h^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8c958ef50f2500dcc147830eb71aa6a5e7b5d7)
Daher ist nach
Fakt
die tangentiale Beschleunigung gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}h'(t)\\&={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle }{\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\\&={\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2416d9ce3446c89b80f5de4b829877ef60c9cf5)
und dies ist mit der tangentialen Kraftkomponente gleichzusetzen, also mit
-
In der ersten Komponente führt dies auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}x'(t)\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t)){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&=-g{\frac {f'(x(t))}{1+f'(x(t))^{2}}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7f1fbf05c7df83646c329489560f429b037654)
Also ist
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![{\displaystyle {}x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}=-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d8419272180207b463a648950e164a7086fc74)
und damit
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![{\displaystyle {}x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78473276fafe8e132662cf7368c4cab2d93fcf)