Aufgrund von
Fakt
genügt es zu zeigen, dass der
Grenzwert
für jedes
existiert. Es sei
eine
Folge
in
, die gegen
konvergiert.
Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge
konvergiert. Da diese Bildfolge in
ist, und
vollständig
ist, genügt es zu zeigen, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt.
Sei
vorgegeben. Wegen der
gleichmäßigen Stetigkeit
von
gibt es ein
derart, dass
für alle
mit
ist. Wegen der Konvergenz der Folge
handelt es sich nach
Fakt
um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein
mit
für alle
.
Somit gilt
-
![{\displaystyle {}d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f393e1d97d6af3e1432ba478462dc09e415776d)
für alle
.
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen
konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen
und
die Folge
![{\displaystyle {}x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4125425c359f77b2ca47ba33799d2054b2edb4)
betrachtet, die ebenfalls gegen
![{\displaystyle {}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71faadcd51a11aa5bf10146968f1a72ec0c66ee)
konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.