Es ist
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5686a4879481ea55b71c92dcf8633618ecf05240)
und somit auch
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c7d0d4540ba6a91076a53119e85ad52bcf3ee5)
Wir fixieren ein
und arbeiten im Ring
der holomorphen Funktionen im Punkt
-
![{\displaystyle {}P=(s,0)\in {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abd384676a3cc0776429f4857f32c87fb7c3cb5)
(in
Variablen).
Nach Voraussetzung ist
-
![{\displaystyle {}h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6b6ec8f3b0b0831bbe6069feaa30793d190f61)
in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen
(als Ideal in
, diese Funktionen hängen auch von
ab)
mit
-
![{\displaystyle {}-h=\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2374205fbaf906410e032a6b8492abde32f9e395)
gibt, die in einer offenen Umgebung
von
definiert sind. Wir können
-
![{\displaystyle {}V=]s-\epsilon ,s+\epsilon [\times W\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce49cb0be655a25b0c29ac09dbcf7665cc595e0)
mit
offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige
(wenn man
als Zeitparameter auffasst)
Vektorfeld
-
![{\displaystyle {}F=\partial _{t}+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4d0032a2809126ed7fda2265e29c7cf88c725f)
auf
. Nach Konstruktion gilt
(das Vektorfeld als Derivation aufgefasst)
.
Da die
zu
gehören, ist im Raumpunkt
die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich
. Für die nach
Fakt
zugehörige holomorphe
lokal einparametrige Gruppe
-
gilt insbesondere
für alle
. Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft
impliziert, dass die Funktion
längs jeder Lösungskurve
konstant ist. Daher ist
unabhängig von
.
Die offenen Intervalle
zu den verschiedenen
überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen
Kompaktheit
endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte
-
![{\displaystyle {}0<t_{2}<t_{3}<\cdots <t_{m-1}<1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e4bed9ace92be6b7b984c60e9dfc32e4386dc3)
wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen
, die die Situation im Zeitpunkt
in die Situation zum Zeitpunkt
überführen. Wegen
-
![{\displaystyle {}H(0,z)=f(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4df8fc6fcd71ef6b3113a59e465f271665824f)
und der Invarianz gilt auch
-
![{\displaystyle {}H(t_{1},\Psi _{t_{1}}(z))=f(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fad26ac4a967dda1bcf8dc3f64e9dacc7a23d62)
und dies folgt durch Induktion für alle weiteren Zeitpunkte
.
Die Hintereinanderschaltung dieser biholomorphen Abbildungen transformiert die Funktion
insgesamt in die Funktion
.