Für
mit
ist
.
Deshalb ist auf
(mit
)
diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall
den Wert
besitzt, eine
untere Treppenfunktion
zu
. Das zugehörige
Treppenintegral
hat den Wert
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{m}}=\sum _{k=2}^{m}{\frac {1}{k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b0c0b1f9e9ddaaef43ff7360ab368f74696fd)
und damit ist diese Summe ein
unteres Treppenintegral
von
![{\displaystyle {}1/x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c696019c42f392e5a567236bc7e3a9486cc70fb)
auf
![{\displaystyle {}[1,m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f215ea329c632d0108635e9533d8a7f08d2ca0cd)
. Jede obere Schranke zu
![{\displaystyle {}1/x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c696019c42f392e5a567236bc7e3a9486cc70fb)
liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von
![{\displaystyle {}m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18c5c5ca10d6e2bb629494ac8c27230d7b78b41)
.