Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Sei   ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen   sind äquivalent:

  • (1)   (d.h.   für alle  )
  • (2) Es gibt ein   mit   für alle  .
  • (3) Die Menge   hat einen Häufungspunkt in  .

Durch Betrachtung von   dürfen wir o. E. annehmen, dass  . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

  • (N1)   (d.h.   für alle  )
  • (N2) Es gibt ein   mit   für alle  .
  • (N3) Die Nullstellenmenge   hat einen Häufungspunkt in  

Beweistyp

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Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

 

Beweis (N1) nach (N2)

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(N1)   (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion   die n-ten Ableitung betrachtet.

Beweis (N2) nach (N3)

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Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung   in   mit  . Es ist   für alle  . Also ist  , es folgt (N3).

Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis

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Zu dem Beweisschritt (N3)   (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und   nicht die Nullfunktion ist.

Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt

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Gelte nun (N3), d. h. die Menge   der Nullstellen von   habe einen Häufungspunkt  . Es gebe also eine Folge   mit   und   sowie  , für alle  . Sei nun   die Potenzreihenentwicklung von   um  .

Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

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Angenommen, es gäbe ein   mit  , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von   auch ein kleinstes solches  . Es wäre

 

Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

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Für jedes   wäre also

 

Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess

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Wegen   und   erhält man:

 

Da   für alle   für  . Dies steht im Widerspruch zu  . Also ist   für alle   und damit   für alle  , d. h. (N2) gilt.

Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen

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Gilt (N2), setze  .   ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in  , da die   stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier  ) wieder abgeschlossen sind.

Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen

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  ist aber zugleich auch offen in  , da in jedem   die Potenzreihenentwicklung von   um   verschwindet, also ist   lokal um   gleich  . Wegen   ist   nichtleer und damit   wegen des Zusammenhangs von  .

Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3)

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Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige   und  , wenn man (N1)-(N3) auf   anwendet.

Siehe auch

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