Induktionsanfang für
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Es ist
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![{\displaystyle {}3^{10}=9^{5}=81\cdot 81\cdot 9\geq 6000\cdot 9\geq 10000=n^{4}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fa70f2f87c1d7dbd67b50c7d831c54d82677de)
Zum Induktionsschluss sei
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Dann ist
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![{\displaystyle {}3^{n+1}=3\cdot 3^{n}\geq 3\cdot n^{4}=n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f8ef34d9cbbd19c5d87f086124f7a0c9c43857)
Andererseits ist nach der binomischen Formel
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![{\displaystyle {}(n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec0ca1b646d0fe9a5edbb54b9353af5c9daeb0b)
Wir müssen
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![{\displaystyle {}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\geq n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae04f6163894adbd295b74a681a96b82a5b4ad8)
nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils
, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus
(da
), aus
,
da ja
ist, aus
und aus
![{\displaystyle {}n^{4}\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bef33656cd72868e95ebef43ba1a62962a1956)
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