Integralgleichung/Fredholm/Zweiter Art/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den Vektorraum aller stetigen Kurven von nach . Dieser ist mit der Maximumsnorm ein metrischer Raum und nach Fakt vollständig. Es sei mit der beschriebenen Eigenschaft fixiert. Die zum Kern gehörige Transformation

ist eine Abbildung

Die Wohldefiniertheit beruht auf der Existenz der bestimmten Integrale für stetige Funktionen und auf der Stetigkeit des Integrals, siehe Fakt. Eine Lösung der Integralgleichung ist offenbar ein Fixpunkt der Transformation, wir werden also den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Zu Kurven ist

und dies ist durch

beschränkt. Daher ist

und nach Voraussetzung ist , also ein Kontraktionsfaktor.