Nach
Fakt
ist
eine endlichdimensionale
-Algebra. Wir müssen zeigen, dass
ein
Körper
ist. Es sei dazu
ein von
verschiedenes Element. Damit ist auch
,
so dass
wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach
Fakt,
das Element
algebraisch über
und es gibt ein Polynom
,
,
mit
.
Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von
heraus und schreiben
,
wobei der konstante Term von
von
verschieden sei. Die Ersetzung von
durch
ergibt
-
![{\displaystyle {}0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28cb3dff60a782da78615e0b8be6d31453a19788)
Da
ist und sich alles im Körper
abspielt, folgt
.
Wir können durch den konstanten Term von
dividieren und erhalten die Gleichung
-
![{\displaystyle {}1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9773470437d86378e1b74d62fe2e839dd9b8190)
Umstellen ergibt
-
![{\displaystyle {}g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb2fa8167bee85461ecb10eb53d770475723a4f)
Das heißt, dass das Inverse zu
sich als Polynom in
schreiben lässt und daher zu
und erst recht zu
gehört.