Die Ganzheitsgleichungen
, zeigen, dass jedes Element aus
ganz über
ist. Seien
und
ganz über
. Nach
der Charakterisierung der Ganzheit
gibt es endliche
-Unteralgebren
mit
und
.
Es sei
ein
-Erzeugendensystem von
und
ein
-Erzeugendensystem von
. Wir können annehmen, dass
ist. Betrachte den endlich erzeugten
-Modul
-
![{\displaystyle {}T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3cf2c4ffe63b1162c19ca85ace42ac92be750d)
der offensichtlich
und
(und
)
enthält. Dieser
-Modul
ist auch wieder eine
-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
-
![{\displaystyle {}{\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5c2a764c08b41c9cb84a5b57f8ee51dfe6a2a1)
und für die Produkte gilt
und
,
so dass diese Linearkombination zu
gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von
, der
enthält. Also liegt eine
-Unteralgebra vor.