Es sei
ein
kommutativer Halbring
und
. Es sei
-
![{\displaystyle {}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d,\,u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01abd33b1ae199009ff02c3885db2ecb62464832)
-
- Die Zugehörigkeit
ergibt sich aus
.
- Sei
und
.
Dann ist durch Addition der beiden Gleichungen direkt
-
![{\displaystyle {}u+v+(a+a')x+(b+b')y=u+v+ax+by+a'x+b'y=cx+dy+c'x+d'y=(c+c')x+(d+d')y\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f40eac18d13730e1ae47112c650a1efdcb8bd59)
- Sei
.
Durch Multiplikation mit
ergibt sich direkt
-
![{\displaystyle {}ru+rax+rby=rcx+rcy\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46452f919f66cef58a961ca7a666f65d74d5a4ab)
- Sei
und
und
.
Durch Addition der beiden Gleichungen über Kreuz erhält man
-
![{\displaystyle {}v+cx+dy+a'x+b'y=u+ax+by+c'x+d'y=v+z+ax+by+c'x+d'y\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eda96d61189546f728786904c860ca776bf6865)
Aufgrund der Abziehregel gilt
-
![{\displaystyle {}cx+dy+a'x+b'y=z+ax+by+c'x+d'y\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62c19bbf5dec33beb73291c8578cf35f7b06182)
was die Zugehörigkeit
bedeutet.