Für das
Spektrum
eines
kommutativen Ringes
gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
,
wobei
das durch
erzeugte Ideal
(Radikal)
in
sei. Man kann sich also bei der Beschreibung der offenen Teilmengen auf die Radikale von
beschränken.
- Für eine Familie
,
,
von Idealen in
ist
-
![{\displaystyle {}\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fe776d5f1dd28d4b0678e320d6b0e999efdec7)
- Für eine endliche Familie
,
,
von Idealen in
ist
-
![{\displaystyle {}\bigcap _{i=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}=D({\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec677f430904e96f75a1a7a98ff48089c108e98)
- Es ist
genau dann, wenn
das
Einheitsideal
ist.
- Es ist
genau dann, wenn
gilt.
- Das Spektrum ist genau dann leer, wenn
der Nullring ist.
- Es ist
genau dann, wenn
nur
nilpotente Elemente
enthält.
- Die offenen Mengen
,
,
bilden eine
Basis der Topologie.
- Eine Familie von offenen Mengen
,
,
ist genau dann eine
Überdeckung
von
, wenn die Ideale
zusammen das
Einheitsideal
erzeugen.