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Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Beweis
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Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt
Beweis
Nach
Fakt
ist
∫
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
g
d
λ
2
=
∫
a
b
(
∫
c
d
f
(
x
)
g
(
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
(
∫
c
d
g
(
y
)
d
y
)
d
x
=
(
∫
c
d
g
(
y
)
d
y
)
⋅
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x)g(y)dy\right)}dx\\&=\int _{a}^{b}f(x){\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}dx\\&={\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\cdot {\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x)g(y)dy\right)}dx\\&=\int _{a}^{b}f(x){\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}dx\\&={\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\cdot {\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c07245dcfdec1e0dfedc870ccceefd95a7a43b)
