Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

Satz

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

Satz

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$