Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante
ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist
(nach der Regel von Sarrus)
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![{\displaystyle {}z^{2}+8z+30z+15-2z^{2}-z-20z-6z=-z^{2}+11z+15\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9dfd69948a20377d91073c9d55504a648b385c)
Dies ist gleich
genau dann, wenn
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ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
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![{\displaystyle {}{\left(z-{\frac {11}{2}}\right)}^{2}=15+{\frac {121}{4}}={\frac {181}{4}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2775794a050df3bc42c88a38823005c2f7347b18)
Daher sind
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die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen
(reellen oder komplexen)
Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.