Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis
Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in
Fakt.
Es sei (2) erfüllt. Nach
Fakt
gibt es eine
endliche Galoiserweiterung
,
die und damit enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach
Fakt
ist dann der
Grad
von
eine Zweierpotenz. Es sei der
Zerfällungskörper
von über . Da galoissch ist, gilt
,
und daher ist auch der Grad von
eine Zweierpotenz.
Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von
Fakt.
(5) (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung
in mit gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ist.
Wir zeigen durch Induktion nach , dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt
(also ohne direkten Bezug auf ein .). Dabei ist der Fall trivial. Es sei also
()
und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach
Fakt
ist dann auch die
Ordnung
der
Galoisgruppe
gleich . Aufgrund von
Fakt
gibt es ein nichttriviales Zentrum
,
sodass es
nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen
auch eine Untergruppe
mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ein
Normalteiler
in . Wir betrachten
.
Nach
Fakt
ist
und nach
Fakt
ist
eine Galoiserweiterung der Ordnung und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch
zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.