Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in Fakt.
Es sei (2) erfüllt. Nach Fakt gibt es eine endliche Galoiserweiterung , die und damit enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach Fakt ist dann der Grad von eine Zweierpotenz. Es sei der Zerfällungskörper von über . Da galoissch ist, gilt , und daher ist auch der Grad von eine Zweierpotenz.
Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von Fakt.
(5) (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung in mit gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ist. Wir zeigen durch Induktion nach , dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein .). Dabei ist der Fall trivial. Es sei also () und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe gleich . Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum , sodass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ein Normalteiler in . Wir betrachten . Nach Fakt ist und nach Fakt ist eine Galoiserweiterung der Ordnung und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.