Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Beweis

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Fakt um einen Integritätsbereich. Für sei der minimale Index mit . Dann ist

mit der formalen Potenzreihe

Die Konvergenz von sichert, dass auch konvergiert. Dabei ist nach Fakt eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von erzeugte Ideal gleich . Das von einer Elementfamilie , , erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie , , erzeugten Ideal, wobei

mit einer Einheit ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal , wobei das Minimum der ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal und damit ein diskreten Bewertungsring vor.