Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen

Einführung

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Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren   gibt es ein System von  -Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra   werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und  -Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer  -Halbnorm und einer Quasinorm her.

Definition: p-Norm

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Sei   ein  -Vektorraum und   eine Abbildung. Erfüllt   die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt    -Norm auf   mit  .

  • (P1) Definitheit:   für alle  ,
  • (P2) p-Homogenität:   für alle   und  
  • (P3) Dreiecksungleichung:   für alle  .

Gilt (P1) nicht, so nennt man    -Halbnorm.

Einheitskreis einer p-Norm

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Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im   eine Astroide.

 

Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve

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Sei   der zweidimensionale  -Vektorraum und   eine Abbildung, die mit   wie folgt definiert ist.

 
  • Zeigen Sie, dass   eine  -Norm ist. Warum erzeugt die  -Norm die gleiche Topologie, wie die Norm  ?
  • Skizzieren Sie die folgende Menge   und  

Hinweis: Berechnen Sie   zunächst für   und  !

Definition: Quasi(halb-)norm

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Sei   ein  -Vektorraum und   eine Abbildung. Erfüllt   die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt   Quasinorm auf   mit Konkavitätskonstante  .

  • (Q1) Definitheit:   für alle  ,
  • (Q2) absolute Homogenität:   für alle   und  
  • (Q3) Konkavitätsungleichung:   für alle  .

Gilt (Q1) nicht, so nennt man   Quasihalbnorm.

Bemerkung: konvex-konkav

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Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw.  -Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei   bzw.  . Für   bzw.   erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer  -Norm mit  , so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das   auf die Konkavität der Einheitskugel der  -Norm hat.

Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen

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Ein topologischer Vektorraum   mit der Topologie  , dann   genau dann  -normierbar, wenn die Topologie   durch eine Quasinorm   erzeugt werden kann.

Der Beweis nach Köthe[1] wird in dem Abschnitt zur  -Regulärität für lokalbeschränkte Algebren ausgeführt.

Korrolar - Korrespondenz-Lemma

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Ein topologischer Vektorraum   mit der Topologie  . Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie   wird genau dann durch eine  -Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen   auch durch eine Quasihalbnorm   erzeugt werden kann.

Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für  -Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung

  •   bzw.
  •  

über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für  -Halbnormen und Quasihalbnormen.

Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume

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Ein topologischer Vektorraum   mit der Topologie   ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie   durch eine System   Quasihalbnormen topologisiert werden kann

Betrachtet man nun eine  -Algebra mit   als  -Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm   mit   ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem   von offenen Mengen der Ausgangstopologie  .

Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas

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Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für  -Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm   erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für  -Normen sondern auch für  -Halbnormen. Daher man jede p-Halbnorm   durch die entsprechende Quasihalbnormen   ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem   der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem   erzeugt werden.  

Bemerkung

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Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer  -Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur  -Regularität werden sowohl für

Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)

Siehe auch

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Quellennachweis

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  1. Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York

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