Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt

Die Person befindet sich in und möchte nach , wobei zur Person , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von

Bestimme den minimalen Weg.

Die Person darf sich nicht innerhalb des Kreises mit Radius um den Nullpunkt bewegen. Der kürzeste Weg ergibt sich daher, wenn such zuerst auf einer Geraden, die tangential zu diesem Kreis ist, bewegt, in den Kreis einbiegt und diesen dann wieder tangential verlässt (alles ist symmetrisch zur -Achse). Sei der Punkt des Kreises, wo der Weg von in den Kreis einbiegt. Dann müssen und senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung

Wegen der Kreisbedingung

folgt

und

Der Winkel zu diesem Punkt ist durch

gegeben. Die Länge des Weges auf dem Kreisbogen ist daher

und der Weg auf der geraden Anfangsstrecke ist

Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist daher


Die Person befindet sich in und möchte nach , wobei zur Person , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von einzuhalten ist. Person ist bereit, sich zuerst auf zurückzuziehen (), um den Weg von etwas zu verkürzen, zum Schluss geht wieder auf ihre Ausgangsposition zurück.

Der Mittelpunkt des Kreises, den nicht betreten darf, ist

Person läuft zuerst einen linearen Weg, der tangential zu diesem Kreis ist, biegt dann in diesen Kreis ein und verlässt ihn wieder tangential (alles ist symmetrisch zur -Achse). Sei der Punkt des Kreises, wo der Weg von in den Kreis einbiegt. Dann müssen und senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung

Wegen der Radiusbedingung

ist dies gleich

Somit ist

Dies führt auf

bzw. auf

und somit auf die quadratische Gleichung

mit den Lösungen

wobei die Lösung

irrelevant ist, da sie den Nullvektor repräsentiert.




Variante




Person will von nach und Person will von nach . Dabei ist die Abstandsbedingung von einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von soll die um Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen.

Die Bewegung von ist rot, die von ist blau, wo sich die Bewegungen zeitversetzt überschneiden, ist die Bewegung violett eingezeichnet.

Die runde Verbindung.

Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist .


Die eckige Verbindung.

geht linear nach und von dort zum Ziel, läuft über . Die Halbbewegung von wird somit durch

beschrieben, die von durch

Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt ist

mit dem Abstand . Dieser ist stets und bei genau gleich . Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist

was kleiner als ist.


Die gierige Strategie

Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen.

Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung

festgelegt, da ja die beiden um gedrehten Punkte den Abstand haben müssen. Also ist

Der Weg von besitzt somit die Länge

der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr .


Optimale Strategie

Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an.

















Jetzt laufen beide auf einem Kreisbogen, und zwar mit dem Mittelpunkt (für ) bzw. () und dem Radius, der durch die Anfangspunkte festgelegt ist.

Der Radius ist

die Bewegung von ist

Dabei bewegt sich zwischen

und .

Die Länge des zurückgelegten Weges von Person ist

Der Weg von ist

mit dem gleichen Zeitintervall für .

Abstandsbedingung.