Lösung
- Es sei
(oder
)
ein rechtsseitig
(bzw. linksseitig)
unbeschränktes Intervall
und
-
eine
Funktion.
Dann heißt
Grenzwert von
für
(bzw.
),
wenn es für jedes
ein
(bzw.
)
gibt mit
für alle
(bzw.
).
- Eine
Folge
in einem
metrischen Raum
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
-
gilt.
- Es sei
ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine offene Menge und
-
ein Vektorfeld auf
. Dann nennt man
-
![{\displaystyle {}v'=f(t,v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93a9c6f25e591c40a864947e63e6361f4612594)
die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld
.
- Die Abbildung
heißt total differenzierbar in
, wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04017e575ecc8bdf76fcf7cae2aa1f221178541)
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit
ist und die Gleichung für alle
mit
gilt.
- Es sei
ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7adeab741b86dba31e5f9919e32b80e8a2fed2a2)
für alle
gilt.
- Das Taylor-Polynom vom Grad
zu
in
ist
-
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei zunächst
offen in
. Dann gibt es zu jedem Punkt
eine offene Ballumgebung mit
-
![{\displaystyle {}P\in U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\cap T\subseteq Z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da49b95679b355c4c0d046b8305861786bd0b5f1)
(der Radius hängt von
ab).
Es ist
-
![{\displaystyle {}U:=\bigcup _{P\in Z}U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4bf1f0a662e43ddbfe1a8328eb571fba6f44c7)
als Vereinigung offener Mengen offen in
und
.
Wenn es umgekehrt eine offene Menge
mit
gibt, so sei
ein Punkt. Es gibt in
eine offene Ballumgebung mit
-
![{\displaystyle {}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e410890796a389fb4254a476bbd5033add008a1)
Dann ist auch
-
![{\displaystyle {}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\cap T\subseteq U\cap T=Z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b50429a824cc2ddf755e5e12f8ce744164deb5)
und es ist eine offene Ballumgebung in
gefunden.
Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen von
.
Lösung
Es sei zuerst
kein Intervall. Wenn
leer ist, so ist
nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also
,
aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe 6.23 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
mit
-
![{\displaystyle {}x<y<z\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70e48ae63a20dfa125726d1dc80d902b418863e)
Dann ist die Menge
-
![{\displaystyle {}A=T\cap {]{-\infty },y[}=T\cap {]{-\infty },y]}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad5d969fcaa73c6a59cb37664b5bdaee6b9f1b2)
sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
in
, da man
sowohl als Durchschnitt von
mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
und
ist sie weder
noch
,
also ist
nicht zusammenhängend.
Es sei nun
ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
mit
gibt, die in
sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
und
,
.
Wir betrachten das
(abgeschlossene und beschränkte)
Intervall
(ohne Einschränkung sei
)
und setzen
.
Dies ist eine in
offene und abgeschlossene Teilmenge von
, die wegen
nicht leer ist und wegen
nicht ganz
ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge
mit
und
gibt. Wir betrachten die reelle Zahl
,
die wegen
Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört
zu
und aufgrund von
Korollar 33.17 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
.
Da
aber auch offen in
ist, gibt es ein
mit
.
Da
das Supremum von
ist, folgt
. Dies ist ein Widerspruch zu
.
Lösung
Lösung
Es sei
,
das wir zu einer Orthogonalbasis
von
ergänzen. Es seien
die Koordinatenfunktionen von
zu dieser Basis. Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {h'(t)}\Vert '&=\Vert {\begin{pmatrix}h_{1}'(t)\\\vdots \\h_{n}'(t)\end{pmatrix}}\Vert '\\&={\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}'\\&={\frac {h_{1}(t)h_{1}'(t)+\cdots +h_{n}(t)h_{n}'(t)}{\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}}\\&={\frac {h_{1}(t)h_{1}'(t)+\cdots +h_{n}(t)h_{n}'(t)}{h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}{\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}\\&={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfecf2fa9eda103cb1f9e3acbd3b9b8b11788922)
Bestimme das
Wegintegral
zum eindimensionalen
Vektorfeld
-
und zum Weg
-
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}\gamma '(t)=3t^{2}+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0422fea2765e5e1a98b2a0f1fea84b59bf7fd4b2)
Damit ist das Wegintegral gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt&=\int _{0}^{1}{\left({\left(t^{3}+t-5\right)}^{2}-4{\left(t^{3}+t-5\right)}+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+t^{2}+25+2t^{4}-10t^{3}-10t-4t^{3}-4t+20+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+2t^{4}-14t^{3}+t^{2}-14t+46\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}3t^{8}+7t^{6}+-42t^{5}+5t^{4}-56t^{3}+139t^{2}-14t+46dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{9}+t^{7}-7t^{6}+t^{5}-14t^{4}+{\frac {139}{3}}t^{3}-7t^{2}+46t\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}+1-7+1-14+{\frac {139}{3}}-7+46\\&={\frac {140}{3}}+20\\&={\frac {200}{3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdc21f6ede698a17858af1dad6e7689f789d13)
Lösung
Das totale Differential von
ist
-
Im Punkt
ist dies
-
Angewendet auf die Richtung
ergibt sich die Richtungsableitung
-
![{\displaystyle {}\left(40,\,11\right){\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}=-120+22=-98\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe248c33484e7491345fb7f664a0402212abb27f)
Lösung /Aufgabe/Lösung
Eine symmetrische Bilinearform
auf dem
werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix
-
beschrieben. Berechne
![{\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\e\end{pmatrix}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5651436b72f7e4c787ba2a39300fa94838b8bee4)
.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\e\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left({\sqrt {3}},\,4\right){\begin{pmatrix}\pi &2\\2&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\e\end{pmatrix}}\\&=\left({\sqrt {3}},\,4\right){\begin{pmatrix}-\pi +2e\\-2+{\sqrt {5}}e\end{pmatrix}}\\&=-{\sqrt {3}}\pi +2{\sqrt {3}}e-8+4{\sqrt {5}}e.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4db739d4de21e04e5ec812d5e722f7bbbccc57)
Lösung /Aufgabe/Lösung
Wir betrachten die Funktion
-
- Man schreibe
als
-
![{\displaystyle {}(x+v)^{2}(y+w)^{3}=x^{2}y^{3}+av+bw+cv^{2}+dvw+ew^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7914b33ceaa906a9d8f6aff80f8898da2686e627)
mit geeigneten Termen
, wobei
und
nicht von
und
abhängen dürfen.
- Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass
in einem beliebigen Punkt
total differenzierbar
ist.
Lösung
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(x+v)^{2}(y+w)^{3}\\&=(x^{2}+2xv+v^{2})(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})\\&=x^{2}y^{3}+(2xy^{3})v+(3x^{2}y^{2})w+(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})v^{2}+(6xy^{2})vw+(2xv+x^{2})(3y+w)w^{2}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991569cbb8082c92f8ffbb6323fa8f1a07dbe2ad)
Es ist also
-
![{\displaystyle {}a=2xy^{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b179b199e1ff36d9751d15d7d9630c80770dd59)
-
![{\displaystyle {}b=3x^{2}y^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de86b2b44883ab437ce5c21ff2220d0fd31cbda)
-
![{\displaystyle {}c=y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c96d80c0054be630d894156ce87ca32735228f)
-
![{\displaystyle {}d=6xy^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe09b26848416b537210c884e875891717aac31)
-
![{\displaystyle {}e=(2xv+x^{2})(3y+w)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe80027ee14f242709dac49132ba6a20d9c917e3)
- Es sei
fixiert. Die ersten drei Summanden ergeben die lineare Approximation, das totale Differential ist durch
gegeben. Die drei hinteren Summanden kann man jeweils in der Form
mit
stetig mit
schreiben. Es ist nämlich
-
![{\displaystyle {}\vert {v}\vert ={\sqrt {v^{2}}}\leq {\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22083d9688c256ffe8ffbd26087b4ca589168435)
und ebenso
.
Daher ist für den ersten Term für
-
![{\displaystyle {}cv^{2}={\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\cdot {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcaf205c3899fe17b3dfac735e1b317e549cf017)
und für
-
![{\displaystyle {}r(v,w)={\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef5eb6abe377faedbe3bbc43c139d5e93fbc7c5)
gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {r(v,w)}\vert &=\vert {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\vert \\&={\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\\&\leq {\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\vert {v}\vert }}\\&=\vert {c}\vert \vert {v}\vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9fd92496e7b92cd307ec719c7c88881fcbcd7e)
Für
geht das gegen
, so dass man
stetig mit dem Wert
fortsetzen kann. Die beiden anderen Term werden entsprechend behandelt.
Betrachte die Abbildung
-
a) Erstelle die
Jacobi-Matrix
von
.
b) Bestimme die
regulären Punkte
von
.
c) Zeige, dass
die Bedingung
-
![{\displaystyle {}(x+y)^{3}+z^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068e41ff1254c6944c84982be14df43503085da2)
erfüllt.
d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
Lösung
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Für
ist der Rang der Matrix gleich
und die Abbildung ist regulär, für
wird die zweite Spalte zu
und der Rang der Matrix ist
. Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte
mit
.
c) Es ist
-
![{\displaystyle {}(x+y)^{3}+z^{2}=(\varphi _{1}(s,t)+\varphi _{2}(s,t))^{3}+\varphi _{3}(s,t)^{2}=(x-x-t^{2})^{3}+(t^{3})^{2}=-t^{6}+t^{6}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64e7bb9ffa989392d215c531b7a3809ca2dc1d9)
d) Es seien
und
-
![{\displaystyle {}P'=(s',t')\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007c4280b20601c60146b3e6cf12fe5c04957d73)
gegeben mit
-
![{\displaystyle {}\varphi (s,t)=\varphi (s',t')\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acd6d66ec7054e05ba897617c779b9a818ecca9)
Wegen
-
![{\displaystyle {}\varphi _{1}(s,t)=s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8080929444f8061b99cdb239d287c7f7bae7122)
folgt sofort
.
Wegen
-
![{\displaystyle {}\varphi _{3}(P)=t^{3}=t'^{3}=\varphi _{3}(P')\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ffcd2f1591b7869d6246b5a41880d98503da81)
folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt
-
![{\displaystyle {}t=t'\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5feb0905b82c05d7c4d73374cf6bd45d12aeeea)
Also ist
.
Man gebe ein Beispiel einer Funktion
-
das zeigt, dass im Satz über die
(lokale)
Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.
Lösung
Lösung
Die nullte Iteration ist die konstante Funktion
-
![{\displaystyle {}\varphi _{0}(t)={\begin{pmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc35ce77dae9263d00e89875385fc51434a5d0e)
Die erste Iteration ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\y_{1}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23\\-24\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t\\-7-24t\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f499fe6695eb4686dd4fc6595237adbef726b6)
Die zweite Iteration ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&={\begin{pmatrix}x_{2}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2-23s\\-7-24s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23-49s\\-24-142s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t-{\frac {49}{2}}t^{2}\\-7-24t-71t^{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6603dcbe97d0ef898a30d6e9cc29edc87962052)
Die dritte Iteration ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&={\begin{pmatrix}x_{3}(t)\\y_{3}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2-23s-{\frac {49}{2}}s^{2}\\-7-24s-71s^{2}\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23-49s-{\frac {277}{2}}s^{2}\\-24-142s-333s^{2}\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t-{\frac {49}{2}}t^{2}+{\frac {277}{6}}t^{3}\\-7-24t-71t^{2}-111t^{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df9b6cc1e16c314d09c279b5dc6889fabfcd8d9)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen.
Lösung
Die Implikation
folgt aus
Lemma 57.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Es sei umgekehrt die Eigenschaft
erfüllt. Wir geben eine auf
definierte Funktion
an, die differenzierbar ist und deren
Gradientenfeld
gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt
fixiert. Für jeden Punkt
gibt es einen
stetig differenzierbaren Weg
-
mit
und
.
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}h(Q):=\int _{\gamma }G\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315a84ce641971e03cf0553e87521f0dd78ad149)
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist
wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
und in jede Richtung
differenzierbar
ist und die Richtungsableitung mit
übereinstimmt. Dazu betrachten wir
-
![{\displaystyle {}h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12dca9e9d18f5a60890ec2e33c15b75e6f0894)
wobei
der verbindende lineare Weg von
nach
auf
sei
(und
hinreichend klein sei, so dass
ist).
Für den
Differentialquotienten
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6826576c2de84060d20e1d62d916396ceb8a7b0)
Somit existiert die Richtungsableitung von
in Richtung
und hängt stetig von
ab. Diese Gleichung zeigt ferner
-
![{\displaystyle {}{\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9103b94bc0cb71dfbbd0c03ec733ba651e502a25)
so dass
das Gradientenfeld zu
ist.