- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme direkt
(ohne Verwendung von Ableitungsregeln)
die
Ableitung
der
Funktion
-
in einem beliebigen Punkt
.
Wir betrachten die Funktion
-
Bestimme die Tangenten an
, die lineare Funktionen sind
(die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Zeige, dass die
reelle Betragsfunktion
-
im Nullpunkt nicht
differenzierbar
ist.
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
-
![{\displaystyle {}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef710e447fc31e660131e239b39069a53f69af4)
mit Hilfe von
-
![{\displaystyle {}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f74be3a8758e5d33ab2df934ec8fbfb1994f3)
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
Es sei
und
.
a) Bestimme die
Ableitung
von
und von
.
b) Berechne die
Hintereinanderschaltung
.
c) Bestimme die Ableitung von
mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von
mittels der
Kettenregel.
Es sei
-
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die
-fache
Hintereinanderschaltung
(
)
-
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}{\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6a81c2e777855eeedd9614fab9eb0554f25b16)
gilt.
Zeige, dass die
Funktion
-
differenzierbar
ist, aber nicht zweimal
differenzierbar.
Es sei
und seien
-
zwei
-mal
differenzierbare Funktionen.
Zeige, dass
-
![{\displaystyle {}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fd00c59b6921336bc4631fb02c5822e8e081af)
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
wobei
die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Bestimme, ob die
komplexe Konjugation
-
differenzierbar
ist oder nicht.
Es sei
offen
und seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise die Formel
-
![{\displaystyle {}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1729df66721b7a3b5db781f2865d836ff240f)
Es sei
ein
Polynom,
und
. Zeige, dass
genau dann ein Vielfaches von
ist, wenn
eine
Nullstelle
sämtlicher
Ableitungen
ist.
Es sei
-
eine
rationale Funktion.
Zeige, dass
genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
(höhere)
Ableitung
mit
gibt.