Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 3
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in , dass die durch
definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.
Aufgabe
Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
Zeige, dass die „beliebte Formel“
nicht gilt.
Aufgabe
Aufgabe
Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.
Aufgabe
Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
Aufgabe
Aufgabe *
Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?
Aufgabe
Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
Aufgabe
Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?
Aufgabe *
Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?
Aufgabe *
Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?
Aufgabe *
Aufgabe
Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.
Aufgabe *
Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten
ist.
Aufgabe
Beweise die Formel
Aufgabe
Aufgabe *
Beweise durch Induktion, dass für die Abschätzung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.
(1) Für jedes ist die Abbildung
(2) Für jedes , , ist die Abbildung
bijektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die „Rechenregel“
bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Menge
mit den beiden ausgezeichneten Elementen
der Addition
und der Multiplikation
Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise die Formel
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