???: Dynkin-System und
-Algebra
???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen
???: Borel-Mengen und Quader
Die Menge der
Borel-Mengen
im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader
erzeugten
-
Algebra
überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit
rationalen
Eckpunkten beschränken.
???: Messbarkeit stetiger Abbildungen
Es seien
und
topologische Räume,
die wir als
Messräume
mit den zugehörigen
-
Algebren
der
Borelmengen
auffassen.
Dann ist jede
stetige Abbildung
-
messbar.
???: Rechenregeln für Prämaße
Es sei eine Menge, ein
Präring
auf und ein
Prämaß
auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
.
Insbesondere ist ein Prämaß
monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
, ,
und aus mit
Dann gilt
-
- Es sei eine
Ausschöpfung
in . Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton wachsend
ist.
- Es sei eine
Schrumpfung
in und sei
vorausgesetzt. Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton fallend
ist.
???: Eindeutigkeitssatz für Maße
???: Fortsetzung von äußeren Maßen
???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß
???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft
???: Fortsetzungssatz für Maße
???: Beschreibung des Produkt-Präringes
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann besteht der
Produkt-Präring
aus allen endlichen
disjunkten Vereinigungen
von
Quadern.
???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen und
Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
-
von
Quadern
(wobei die Seiten endliches Maß haben)
durch
-
mit
definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien
(insbesondere sei dies definiert).
Dann ist die Zuordnung ein
Prämaß
auf dem
Produkt-Präring.
???: Produktsatz für Maße
Es seien
-
endliche
Maßräume
gegeben.
Dann gibt es genau ein
(-endliches)
Maß auf der
Produkt--
Algebra
, das für alle messbaren Quader
(deren Seiten endliches Maß besitzen)
den Wert
-
besitzt.
???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf
???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes
Der sei mit der
-
Algebra
der
Borel-Mengen
versehen.
Dann gibt es auf genau ein
(-
endliches)
Maß
-
das für alle Quader
-
den Wert
-
besitzt.
Die Aussage gilt auch für
(achsenparallele)
Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
???: Maß auf Untervektorräumen
???: Translationsinvariante Maße auf dem
.
Das
Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige
translationsinvariante Maß
auf , das auf dem Einheitswürfel den Wert besitzt.
???: Translationsinvariante Maße
???: Die lineare Transformationsformel
Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann gilt für jede
messbare Menge
die Beziehung
-
???: Isometrie und Maßtreue
Eine
lineare Isometrie
-
ist
volumentreu.
???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum
???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum, sei eine
Basis
von und sei das davon
erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das
Borel-Lebesgue-Maß
auf
-
???: Supremum von messbaren Funktionen
???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen
Es sei ein
Messraum und sei
-
eine
Folge
von
messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine
Grenzfunktion
konvergiere.
Dann ist auch messbar.
???: Einfache Funktionen und messbare Funktion
Es sei ein
Messraum und sei
-
eine
messbare numerische
nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine
wachsende Folge
von
nichtnegativen
einfachen Funktionen
-
die punktweise gegen
konvergieren.
???: Subgraph einer messbaren Funktion
???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen
???: Graph einer messbaren Funktion
???: Tschebyschow-Abschätzung
???: Allgemeine Transformationsformel
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein
Messraum
und
-
eine
messbare Abbildung.
Es sei das
Bildmaß
von unter , das ebenfalls als
-
endlich
vorausgesetzt sei, und es sei
-
eine
-
integrierbare Funktion.
Dann ist auch
-
integrierbar,
und es gilt
-
???: Satz von der monotonen Konvergenz
???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie
Es sei
-
eine
messbare
Riemann-integrierbare
Funktion.
Dann gilt
-
???: Linearität des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum. Es seien
integrierbare
messbare
reellwertige
Funktionen
auf und
.
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
-
???: Lemma von Fatou
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
-
eine
Folge
von nichtnegativen
messbaren
numerischen Funktionen.
Dann gilt
-
???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz
???: Stetige Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein
metrischer Raum,
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion messbar.
- Für alle
ist die Funktion
stetig
in .
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
wohldefiniert und stetig in .
???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein nichtleeres
offenes Intervall
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion integrierbar.
- Für alle
ist die Funktion
(stetig)
differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
(stetig)
differenzierbar
in , die Zuordnung ist
integrierbar
und es gilt die Formel
-
???: Querschnittslemma
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
eine
messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
-
und -
messbar.
???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)
Es seien
und
-
endliche Maßräume.
Dann gilt für alle
messbaren Teilmengen
die Beziehung
-
???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und
-
eine
messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
-
bijektiv
und
maßtreu.
???: Volumen eines Rotationskörpers
Es sei
-
eine
nichtnegative
messbare Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zum
Subgraphen
von um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
-
wobei für die zweite Formel als
stetig
vorausgesetzt sei.
???: Der Satz von Fubini
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
-
und
-
fast überall
reellwertig und fast überall
integrierbar,
und es gilt
-
???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum
Es seien
und
-
endliche Maßräume und es seien
und
integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
-
integrierbar und es gilt
-
???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen
Es sei
offen und sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine
Nullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
???: Die Transformationsformel
???: Die Transformationsformel für Integrale
???: Transformationsformel für Polarkoordinaten
Es sei
-
die
Polarkoordinatenauswertung
und es seien
und
offene Mengen,
auf denen einen
Diffeomorphismus
induziert. Es sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann ist
-
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
-
???: Fehlerintegral
Es ist
-
???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
???: Eigenschaften der Tangentialabbildung (Punkt)
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
,
und es sei
-
die zugehörige
Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem
totalen Differential
.
- Wenn
-
mit
und
und
-
mit
und
Karten
sind, so ist das Diagramm
-
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen bzw. gegeben sind.
- ist
-
linear.
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit,
und
-
eine weitere differenzierbare Abbildung mit
ist, so gilt
-
- Wenn ein
Diffeomorphismus
ist, dann ist ein
Isomorphismus.
- Für eine
differenzierbare Kurve
-
mit einem offenen Intervall
,
und
gilt im Tangentialraum die Gleichheit
-
???: Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten sind ...
???: Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
???: Eigenschaften der Tangentialabbildung
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
-
die zugehörige
Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gibt ein
kommutatives Diagramm
-
- Für eine Karte
-
zu
offen und mit
offen gibt es ein kommutatives Diagramm
-
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialbündel mit bzw. identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
-
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit
und
-
eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt
-
- Die Tangentialabbildung ist
stetig.
- Wenn ein
Diffeomorphismus
ist, so ist ein
Homöomorphismus.
???: Abbildungseigenschaften von Produktmannigfaltigkeiten
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und ihr
Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Projektionen
-
und
-
sind
differenzierbare Abbildungen.
- Der
Tangentialraum
in einem Punkt
ist
.
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
-
genau dann differenzierbar, wenn die
Komponentenabbildungen
und
differenzierbar sind.
???: Transformationsformel für volldimensionale Dachprodukte
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Vektoren in , die miteinander in der Beziehung
-
stehen, wobei eine
-
Matrix
bezeichnet.
Dann gilt in die Beziehung
-
???: Universelle Eigenschaft des Dachprodukts
???: Alternierende Abbildungen und Dachprodukt
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und .
Dann gibt es eine
natürliche
Isomorphie
-
???: Basis für Dachprodukte
???: Dimension der äußeren Potenzen
???: Dachprodukt und Dualität
???: Dachprodukt zu linearer Abbildung
???: Eigenschaften des Dachprodukts einer linearen Abbildung
???: Orientierungen auf Vektorraum und Dachprodukt
???: Der Satz von Heine-Borel
???: Lokale Beschreibung von Differentialformen
???: Lokale Beschreibung von 1-Differentialformen
???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform
Es seien
und
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei eine
-
Differentialform
auf mit der Darstellung
-
wobei
Funktionen
sind.
Dann besitzt die
zurückgezogene Form
die Darstellung
-
???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Volumenform
Es seien
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei eine
-
Differentialform
auf mit der Darstellung
-
Dann besitzt die
zurückgezogene Form
die Darstellung
-
???: Wohldefiniertheit des Maßes zu einer positiven Volumenform
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit
abzählbarer Basis der Topologie
und es sei eine
positive Volumenform
auf . Zu einer Karte
-
mit
und einer
messbaren Teilmenge
setzen wir
-
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Wenn
zwei Kartenumgebungen sind, so ist
.
- Zu einer messbaren Teilmenge
gibt es eine
abzählbare disjunkte Vereinigung
derart, dass jedes ganz in einer Karte liegt.
- Die Summe ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
???: Volumenform auf abgeschlossener Untermannigfaltigkeit
Es sei
offen und sei
-
(mit
)
eine
stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der
Faser
über
regulär
sei.
Dann ist die Abbildung
-
in jedem Punkt
eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf gegeben ist.
???: Berechnung des kanonischen Volumens
???: Berechnung der Volumenform bei einer Einbettung
???: Inhaltsberechnung für eingebettete Flächen
Es sei
eine
abgeschlossene Fläche
in einer
offenen Menge
,
die mit der induzierten riemannschen Struktur und der
kanonischen Flächenform
versehen sei. Es sei
offen und es sei
-
ein
Diffeomorphismus
mit der offenen Menge
.
Die Koordinaten von seien
und
und wir setzen
-
Dann gilt auf
-
???: Flächeninhalt einer Rotationsfläche
Es sei
-
eine
differenzierbare Kurve
mit
, die einen
Diffeomorphismus
zu
induziere, wobei
eine eindimensionale
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in einer offenen Menge
sei.
Dann ist die zugehörige
Rotationsfläche
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
-
???: Eigenschaften der äußeren Ableitung auf Mannigfaltigkeiten
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit,
und es sei
-
die
äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die äußere Ableitung
-
ist die
Tangentialabbildung.
- Die äußere Ableitung ist
-
linear.
- Für
und
gilt die Produktregel
-
- Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ist
.
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine
stetig differenzierbare Abbildung
-
und jedes
gilt für die
zurückgezogenen Differentialformen
-