Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Vollständigkeit
2.1. Schranken Bearbeiten
Sei
- heisst obere Schranke von , wenn für alle gilt.
- heisst untere Schranke von , wenn für alle gilt.
Falls eine obere (untere) Schranke existiert, so heisst nach oben (nach unten) beschränkt.
heisst beschränkt, wenn nach oben und nach unten beschränkt ist.
- Beispiel
ist nach unten beschränkt, z.B. durch 0. ist nach oben beschränkt, z.B. durch 1.
2.2. Vollständigkeitsaxiom Bearbeiten
Jede nach oben beschränkte Menge besitzt eine kleinste[größte] obere[untere] Schranke, das Supremum[Infimum] von M: sup M[inf M].
- Bespiel (2.1): ist obere Schranke
- Annahme:
Hier fehlt noch etwas ...
2.3. Größte untere Schranke Bearbeiten
Ist , nach unten beschränkt, dann existiert die größte untere Schranke von , das Infimum von M . Wenn inf , so heißt es Minimum .
- Beweis
- Sei nach oben beschränkt.
- zu zeigen
- ist die größte untere Schranke von . (Übung)
- Beispiel
- Behauptung
- ist eine untere Schranke
- .
2.4. Satz Bearbeiten
2.5. Regeln für sup und inf Bearbeiten
2.6. Archimedische Eigenschaft Bearbeiten
2.7. Satz und Definition Bearbeiten
2.8. Erweiterung von durch Bearbeiten
Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.