Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§3 Teilfolgen

3.1. Teilfolgen und Häufungswerte

Eine Indexfolge ($n_{k}$) ist eine streng monoton wachsende Folge in $\mathbb {N}$ (z.B. $n_{k}=k^{2},N_{k}=2^{k}$).

Ist ($a_{n}$) eine reelle Folge und ($x_{k}$) eine Indexfolge, dann heisst die Folge ($a_{n_{k}}$) eine Teilfolge von ($a_{n}$ ).

$a\in \mathbb {R}$ heisst Häufungswert von ($a_{n}$), wenn es eine Teilfolge ($a_{n_{k}}$) gibt mit $a_{n_{k}}\to a(k\to \infty )$

Beispiel: $a_{n}=(-1)^{n}=...-1,1,-1,1$

$a_{2_{k}}=1\to 1$

$a_{2_{k-1}}=-1\to -1$

Beispiel: $a_{n}={\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n(-1)^{n}}}}$

$a_{2_{n}}={\sqrt[{2n}]{2^{2n}+3^{2n}}}={\sqrt[{2n}]{3^{2n}(1+({\frac {2}{3}})^{2n})}}=3*\underbrace {{\sqrt[{2n}]{\underbrace {1+({\frac {2}{3}})^{2n}} }}_{\to 1}} _{\to 1}\to 3$

$a_{2n+1}={\sqrt[{2n+1}]{2^{2n+1}+3^{-(2n-1)}}}=2*{\sqrt[{2n+1}]{1+{\frac {1}{6}}^{2n-1}}}\to 2$

3.2. Satz von Bolzano-Weierstrass

Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.

3.9. Unbeschränkte Folgen

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.