Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 2 3 0 10 0 4 0 0 0 6 8 0 0 39




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Mengenpräring auf einer Menge .
  2. Eine Ausschöpfung einer Menge .
  3. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion auf einem - endlichen Maßraum .
  4. Die Übergangsabbildung zu Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit.
  5. Die Kotangentialabbildung im Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  6. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.


Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  2. Eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle heißt Ausschöpfung von , wenn gilt.
  3. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

    das Integral von über (zum Maß ).

  4. Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

    mit die Funktionen (für )

    - differenzierbar sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
  2. Der Satz von der monotonen Konvergenz.
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. Es sei eine Menge, ein Präring auf und

    ein äußeres Maß auf . Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge

    , das auf mit übereinstimmt.
  2. Es sei ein - endlicher Maßraum und sei

    eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion . Dann gilt

  3. /Fakt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass stetige Abbildungen Borel-messbar sind.


Lösung

Nach Definition bedeutet die Stetigkeit, dass das Urbild von jeder offenen Menge offen in ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein Erzeugendensystem für die Algebra der Borelmengen. Nach Lemma 1.16 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist somit messbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Lösung

Sei

Die Skalarprodukte haben die Werte

Die Determinante der Matrix

ist

Das Volumen des Parallelotops ist also .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.


Lösung

Es sei . Das Mengensystem ist natürlich eine Überpflasterung von , sodass in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung , , von gilt und somit

sodass gilt.
Für beliebige Teilmengen gilt trivialerweise , da eine Überpflasterung von insbesondere eine Überpflasterung von ist.
Es sei nun , , eine abzählbare Familie von Teilmengen von . Wir müssen nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als sei. Sei , , so gewählt, dass ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von , siehe Aufgabe *****. Zu jedem gibt es eine Überpflasterung mit einer abzählbaren Indexmenge , mit und mit

Die Menge ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch , , (mit ) gegebene Überpflasterung von . Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

  

ein Widerspruch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Menge und es sei eine Ausschöpfung von mit Teilmengen , . Zu jedem sei der Subgraph zur Indikatorfunktion . Zeige, dass die , , eine Ausschöpfung von bilden.


Lösung

Der Subgraph zur Indikatorfunktion ist

Wegen ist somit auch . Offenbar ist . Für ein beliebiges gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein mit . Für dieses ist auch , sodass gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

auf dem und die Abbildung

  1. Berechne die äußere Ableitung von .
  2. Berechne den Rückzug von unter .
  3. Berechne die äußere Ableitung von auf .
  4. Berechne den Rückzug von unter unabhängig von (3).


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist
  4. Der Rückzug ist


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck mit den Eckpunkten und für die Differentialform .


Lösung

Es seien

die drei Eckpunkte. Wegen ist das Integral zu dieser Flächenform über gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks. Dieses Dreieck wird von aus von den beiden Vektoren und aufgespannt. Der Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel für ein Parallelotop somit gleich

Wenn die beiden Vektoren die Standardorientierung repräsentieren, was wir von nun an annehmen, so kann man den Betrag weglassen.

Wir berechnen nun das Wegintegral zu entlang des gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Dreiecksrandes. Dabei geht der Weg von nach , dann nach und zurück zu (dies entspricht dem entgegengesetzten Uhrzeigersinn bei der fixierten Orientierung). Diese linearen Wege sind (jeweils auf dem Einheitsintervall definiert)

und

Es ist

Entsprechend ist

und

Die Summe dieser drei Wegintegrale ist die Hälfte von

sodass die beiden Integrale übereinstimmen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung